Liban – juin 2003
Un théâtre propose deux types d’abonnements pour une année : un abonnement A donnant droit à six spectacles ou un abonnement B donnant droit à trois spectacles.
On considère un groupe de 2 500 personnes qui s’abonnent tous les ans. n étant un entier naturel, on note :
a n la probabilité qu’une personne ait choisi un abonnement A l’année n ;
b n la probabilité qu’une personne ait choisi un abonnement B l’année n ;
P n la matrice [a n , b n] traduisant l’état probabiliste à l’année n.
Tous les ans, 85 % des personnes qui ont choisi l’abonnement A et 55 % des personnes qui ont choisi l’abonnement B conservent ce type d’abonnement l’année suivante. Les autres personnes changent d’abonnement. On suppose que, l’année zéro, 1 500 personnes ont choisi l’abonnement A et 1 000 l’abonnement B.
Déterminer l’état initial P 0 = [a 0 , b 0] .
a. Tracer un graphe probabiliste traduisant les données de l’énoncé.
b. Déterminer la matrice de transition M de ce graphe.
c. En déduire le nombre d’abonnés, pour chaque type d’abonnement, l’année un.
Soit P = [x , y] l’état stable, où x et y sont deux nombres réels positifs tels que x + y = 1.
a. Justifier que x et y vérifient l’équation x = 0,85 x + 0,45 y.
b. Déterminer x et y.
c. En déduire la limite de la suite (a n) quand n tend vers plus l’infini.
d. Interpréter le résultat en terme de nombre d’abonnements de type A.
a.